La aritmética de Teón consta de dos partes: la primera dedicada a esta ciencia, y la segunda a la Música y a divagar sobre las propiedades de los números. En la parte dedicada a la Aritmética, el primer capítulo está dedicado a demostrar la importancia de esta ciencia; el segundo enseña que los números son el principio, el manantial y la razón de todas las cosas; el tercero trata del número y de la unidad. Según Pitágoras, la unidad es indivisible y distinta del numero 1; pues la unidad, según este sabio, es corpórea, y el uno intelectual.
El capítulo 4° se titula: Del principio de los números. Respecto a este punto Teón difiere de la opinión de Pitágoras, Arquitas y Filolao y los ataca duramente por no haber hecho una distinción clara entre el número de objetos y el número mismo.
El capítulo 5° se ocupa de los números pares e impares. ¿El número uno es par o impar? Esta cuestión, que a nosotros nos parece tan sencilla, fue larga y detenidamente ventilada en el albor de la ciencia. Según unos es impar, porque siendo indivisible no puede ser múltiplo de dos; Pitágoras hace empezar los números impares en tres; Aristoto y Arquitas dicen que es a la vez par e impar; Teón, por el contrario, sostiene que es impar y para comprobar su opinión dice: “dos es par, tres impar, luego lo que se añadió al primero para engendrar el segundo, que ha sido uno, debe ser necesariamente impar”.
El capítulo 6° trata de los números primos o indescomponibles. Son números primos en la ciencia pitagórica los que no son divisibles más que por sí mismos y por la unidad, aquellos que tienen, por decirlo así, longitud; pero no anchura. Recibieron cinco nombres; primos, indescomponibles, euthymétricos e imparmente impares. De los números pares sólo es primo por excepción el dos. Son primos entre sí los que sólo tienen la unidad como divisor común.
El capítulo 7° estudia los números compuestos. Reciben este nombre los que son divisibles por otro; se llaman planos los que tienen longitud y anchura, como 6=2×3; sólidos los que tienen tres factores, como 30 =2x3x5.
El capítulo 8° habla de los números pares y principalmente de los parmente pares: éstos últimos son, como indica su nombre, aquellos cuyas partes son pares a la vez como 32; 64… hasta 2^n. El capítulo 9° trata de los números imparmente pares, cuyo nombre indica claramente cuáles son estos; el capítulo 10, de los números imparmente pares. Son aquellos que son divisibles por cuatro, dando un cociente impar como 20 = 5.
El capítulo 11 estudia los números oequalinus. Estos números son evidentemente pares. Para encontrarlos se pueden seguir dos métodos: multiplicar entre sí los números consecutivos o sumando los n primeros pares; en efecto; la sumada estos números tendrá evidentemente la forma: 2(1+2+3+…+n) = n(n+1); forma general de los números de que se trata.
El capítulo 14 se ocupa de los números paralelográmicos. Se llaman de esta manera los que una de sus dimensiones excede en dos unidades o más a la otra. El capítulo 15 trata de los números cuadrados. Se pueden encontrar estos números sumando los impares; el capítulo 16, de los números cuadrados obtenidos por medios proporcionales de los altera parte longiores.
El capítulo 17 se ocupa de los números oblongos. Son aquellos que hemos llamado paralelográmicos, en el caso particular de que la longitud excede a la anchura en tres unidades. El capítulo 18 trata de los números planos, cuya definición hemos dado anteriormente.
Los capítulos 19, 20, 23, 25, 26 y 27 hablan de los números poligonales. Esta clase de números tiene una construcción geométrica. Entre los números poligonales son notables los de tres ángulos, que son la suma de los números naturales, y los de cuatro ángulos que son la suma de los cuadrados do los números naturales; los demás son en general los términos de toda progresión por diferencia.
El capítulo 21 se ocupa de los números oequaliter oequalibus y de inoequaliter inoequalibus; el capítulo 22 de los números semejantes, que son productos de factores semejantes.
Trata el capítulo 24 de los números circulares y esféricos. Son circulares y esféricos aquellos cuyos cuadrados y cubos terminan en el número que expresa su raíz; por ejemplo: 5 es circular y esférico porque su cuadrado y su cubo terminan en 6; 6 también lo es.
En el capítulo 28 se demuestra que la suma de los números triangulares consecutivos es otro cuadrado.
El capítulo 29 trata de los números sólidos, cuya definición hemos dado anteriormente; el capítulo 30, de los números piramidales que son los que sirven para medir las pirámides, el capítulo 31, de los números laterales y diagonales, diagonales, etc.; el capítulo 32, de los números perfectos que son aquellos que se reproducen en la suma de sus factores, como 6=1+2+3. Se llaman abundantes los que exceden a la suma de sus factores, y deficientes los que no llegan a ella.
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