La aritmética de Diophanto

Nada de notable tenemos que indicar hasta la aparición del libro de Diophanto: este sabio que vivió del año 325 al 409, publicó un libro de Matemáticas compuesto de 12 tomos, de los que sólo conocemos seis. Esta obra fue comentada por la célebre cuanto infortunada Hypathia en el siglo v, y descubiertos por Regiomontanus los manuscritos en la Biblioteca del Vaticano, se publicaron por primera vez en 1460 por Xylander, y por Bachet se hizo una traducción latina de gran mérito en 1621.

Daremos, aunque sea a la ligera, una idea general de la obra de Diophanto.

Definición 1° – Todos los números son reuniones de unidades, y pueden crecer indefinidamente. Se llama lado de un número a su raíz cuadrada; cubo al producto del cuadrado por el número dado; cuarta potencia se denomina quadrato-quadrati, quinta, quadratocubi y sexta cubo-cubi, en cuya potencia se detiene Diophanto.

Definición 2° – Allí se definen los signos del cuadrado, cubo, de la cuarta potencia, de la quinta y de la sexta; a todas estas cantidades se las llamaban potencia, y a las demás cantidades simplemente número. En tiempo de Bachet en lugar de los signos de Diophanto se usaban para los números una N, para los cuadrados una Q y para los cubos una C.

Definición 3° – Trata de las fracciones cuyos denominadores son números cuadrados o cubos, y da nombres especiales a aquellos que tienen las formas 1/N, 1/Q y 1/C.

Definición 4° – Trata de las reglas relativas a los exponentes en la multiplicación.

Definición 5° – Demuestra que el producto de un número por su inverso es la unidad.

Definición. 6° – Demuestra el autor que toda cantidad multiplicada por 1 es la misma cantidad, o sea que conserva su especie.

Definición 7° – Demuestra que toda fracción denominada, multiplicada por ella misma cambia de nombre.

Definición 8° – Demuestra que toda fracción teniendo por denominador el lado de un número, multiplicada por éste da el lado del número.

Definición 9° – Demuestra que la multiplicación de dos números deficientes (es decir, negativos) produce una cantidad abundante (es decir, positiva); y la de una cantidad deficiente por una abundante da otra deficiente. El signo de la cantidad deficiente, que es el mismo de la resta. T. Diophanto no tenía en su obra signo para la suma, y escribe sencillamente para indicar un cierto número de cantidades de diversos nombres: C3; Q4; N2 y M7, que representan tres cubos, cuatro cuadrados, dos números y siete unidades. Estos principios los emplea Diophanto rara vez, pues no hace demostraciones y sólo da los resultados.

Definición 10° – Aconseja el autor no confundir las cantidades deficientes con las abundantes, y no operar más que sobre las semejantes. Diophanto llama a la incógnita x, a los coeficientes multitudes o fracciones según son enteros fracciones, y a los datos multitudes o conjuntos de unidades.

En las definiciones posteriores a las que acabamos de indicar, Diophanto entra en el estudio del Álgebra, en el que nosotros no le seguiremos; sólo citaremos el libro relativo a los números poligonales, en el que aclara y fija muchas de las ideas que parecían confusas y obscuras en la obra de Theon de Smyrna.

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