Para hacer decisiva la demostración, era preciso medir la acción solar, no sólo en el afelio y el perihelio, sino en toda la extensión de la órbita; había necesidad, pues, de descomponer esa acción en un punto cualquiera, según la normal correspondiente, antes de poderla apreciar por la fuerza centrífuga que no le era ya directamente opuesta; de aquí dificultades matemáticas insuperables, sin la creación de un nuevo instrumento, el cálculo diferencial.

Con su ayuda demostró Newton que una fuerza dirigida hacia el foco de una elipse, que hace que un proyectil describa esta curva, es recíproca al cuadrado del radio vector; demostró, además, que para cada planeta respecto a la unidad de distancia, el valor propio de la atracción solar es proporcional a la relación entre el cuadrado del tiempo periódico y el cubo del eje mayor de la elipse, lo que prueba exactamente, según la tercera ley de Kepler, la identidad de este valor respecto de todos los planetas sobre los que no cambia la acción del Sol en razón sólo de la distancia, por grandes que sean las diferencias de sus dimensiones.

Suponiendo, pues, en reposo todos los planetas, a la misma distancia del Sol y abandonados a la fuerza que los atrae hacia su centro, descenderían de la misma altura en el mismo tiempo, de igual manera que en el vacío caen todos los cuerpos terrestres con la misma velocidad, sean las que quiera su masa y naturaleza. De aquí dedujo Newton la importante consecuencia de que la acción solar es proporcional, a distancia igual, a la masa del planeta, consecuencia que recuerda la proporcionalidad establecida entre los pesos de los cuerpos terrestres y sus masas, según la igual velocidad de su caída en el vacío o la exacta coincidencia de sus oscilaciones.

Llegamos, pues, por una consecuencia necesaria de las leyes de los movimientos celestes a considerar el centro del Sol como el foco de una fuerza que se extiende indefinidamente en el espacio, disminuyendo en razón del cuadrado de las distancias y que atrae de un modo semejante todos los cuerpos.

Ha dado la atracción newtoniana un sentido racional y dinámico a los tres hechos observados por Kepler: una misma fuerza, obrando de igual manera, preside a todos los fenómenos celestes, los enlaza y permite calcularlos; nos queda por demostrar que esta fuerza, que retiene en sus órbitas satélites, planetas y cometas, es exactamente asimilable a la que hace caer los cuerpos terrestres en la superficie de nuestro globo; que la tendencia continua de los planetas hacia el Sol, no es una cosa distinta de la gravedad generalizada, o en sentido inverso, que la gravedad terrestre es un caso particular de la atracción universal.

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