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ARITMÉTICA

Del griego, número.

Parte de las Matemáticas, que trata de la cantidad expresada por medio de números.

ARITMÉTICAMENTE: Según las reglas de la Aritmética.

ARITMÉTICO: Perteneciente o relativo a la Aritmética. || Persona que estudia, profesa o sabe la Aritmética.

ARITMOLOGÍA: Nombre propuesto por Ampere para la ciencia de los números, que comprende la Aritmética y el Álgebra.

* Orígenes de la aritmética
* La aritmética y la representación numérica
* Origen del cálculo aritmético
* El cálculo aritmético entre los griegos
* La aritmética de Teón
* Propiedades de la aritmética de Teón
* La aritmética de Diophanto
* El sistema decimal de la aritmética
* La aritmética como una ciencia moderna
* Tratado aritmético de Leonardo de Pisa
* Progresos de la ciencia aritmética
* Los logaritmos en la aritmética
* La aritmética y la teoría de los números
* Los signos aritméticos
* Progresos de la aritmética en el siglo xvii
* La aritmética de Euler, Lagrange y Legendre
* Máquinas de cálculo aritmético
* El aritmómetro
* Mecanismo del aritmómetro
* Operaciones realizadas por el aritmómetro
* Aritmética política y estadística
* Aplicaciones de la aritmética política

Orígenes de la aritmética

Difícil es indicar el origen de la Aritmética, pues su nacimiento se pierde en medio de la noche de los siglos, y su existencia es casi contemporánea de la del hombre sobre la superficie de la tierra.

En el instante mismo en que el ser humano tuvo que contar el número de hijos que le rodeaban, el de cabezas que formaban sus ganados, el de piezas que había cobrado en la caza; o cuando más tarde estableció, por medio del simple cambio, el primer germen de comercio con sus semejantes, desde ese momento echó los cimientos de la ciencia llamada Aritmética, o mejor dicho de las Matemáticas, que andando el tiempo, había de tomar el inmenso desarrollo que hoy tiene entre nosotros.

A pesar de la antigüedad de la Aritmética, largos siglos permaneció en las sombras, formando parte de la vida social del hombre, y siendo únicamente un instrumento de comercio sin que los sabios se dignaran dirigirle una mirada, pues la consideraban indigna de formar cuerpo con sus altas lucubraciones geométricas, hasta que el ilustre Pitágoras la sacó de su humilde estado, por medio de sus estudios sobre los números, y la lanzó en la gran corriente científica de sus tiempos, unida primero a la Geometría, y dando más tarde origen al Álgebra, y siguiendo desde entonces la marcha general de los estudios matemáticos en el mundo civilizado.

La cantidad en los primeros tiempos de la Aritmética era simplemente un conjunto de objetos; la unidad estaba representada por uno de ellos y debía considerarse, por lo tanto, como indivisible. En esta época, pues, los matemáticos no conocían más cantidad que la discontinua, y pasaron muchos siglos antes de que cambiaran estas ideas.

Cuando los geómetras quisieron medir las líneas, las superficies y los volúmenes, para calcular su valor numérico, y los astrónomos pensaron hacer una cosa análoga con el tiempo, entonces surgieron ante la inteligencia de los matemáticos las cantidades continuas, que trajeron a las ciencias pensamientos distintos de los que hasta aquella época habían existido. Ya no era la unidad aquel ser claro y definido y esencialmente indescomponible de las cantidades discontinuas, sino, por el contrario, algo indeterminado, abstracto y susceptible de descomposición; especie de fantasma que sólo en la época de Descartes tomó personalidad y representación real. Este sabio matemático transformó por completo la antigua idea de la unidad, y en sus obras se la ve intervenir por primera vez directamente en los cálculos, para hacer lineales ciertas cantidades que no lo eran a primera vista.

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La aritmética y la representación numérica

El primer paso dado por el hombre en la Aritmética fue el estudio de la numeración, y de ella la parte impropiamente conocida con el nombre de numeración hablada, que se debía llamar sencillamente nomenclatura de los números.

Es rara la armonía que ha existido entre razas de hombres de distintos países, separadas por centenares de lenguas, o por cientos de años, que nunca han tenido relación entre sí y que sin embargo todas ellas han tomado como base de sus sistemas de numeración el número 10.

Aquellos que más se han separado de esta regla general, adoptaron por bases múltiplos o submúltiplos de este número; unos eligieron el sistema quinario; los otros el vigésimo; los primeros sólo necesitaban cinco nombres elementales para nombrar los números y los otros veinte.

Después de la numeración hablada, el hombre trató de representar los números por medio de signos. ¿Cuándo? es difícil decirlo. Según M. Dareste, todos los signos numéricos son restos de antiguas escrituras jeroglíficas, que se sujetan a cuatro tipos principales:

1° La escritura egipcia, que representa el uno por una raya y los demás hasta el cuatro por repeticiones de este signo, el cinco por un círculo, el ciento por una hoja de palma arrollada y así sucesivamente; el carácter distintivo de este sistema es el de la repetición de las figuras para representar múltiplos de la primera cifra, así como los romanos, imitadores en esto de los egipcios, representaban el 10 por una X, el veinte por XX, el treinta por XXX y así sucesivamente.

2° El procedimiento fenicio, hebreo y griego representaba los números por las letras de sus alfabetos respectivos.

3° El japonés, chino, etc., que usa dos clases de signos, unos para las unidades simples, y otros para las compuestas, ya puestos al lado de los primeros a manera de coeficientes, ya debajo como subíndices.

4° El árabe, deducido evidentemente del indio, y que podernos llamar el sistema del cero, que representa los nueve primeros números por signos especiales, y los órdenes superiores por el lugar que éstos ocupan en la escritura.

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Origen del cálculo aritmético

Desde el instante en que el hombre tuvo conciencia de la numeración, desde este mismo momento se vio en la necesidad de hacer cálculos con los números. Reunir varios en uno; hallar la diferencia de dos; he aquí los primeros problemas aritméticos que se presentaron a la inteligencia humana.

Mientras las cantidades con que se había de operar fueron pequeñas, la cuestión fue fácil de resolver, pues estas operaciones se pudieron hacer de memoria; pero cuando las cantidades eran grandes o numerosas, el hombre tuvo que recurrir a procedimientos auxiliares.

Como la escritura no estaba generalizada en los lejanos tiempos a que nos referimos, la humanidad tuvo que recurrir a lo que se llama ábacos. Muchas y variadas han sido las formas que ha tenido este instrumento de cálculo; desde el que podríamos denominar rudimentario, reducido a llevar la cuenta por medio de piedrecitas de tamaños o colores diferentes, hasta los complicados ábacos usados por los griegos y romanos y que todavía están en uso en los lejanos países de la China. Allá, en la India, los cálculos aritméticos se ejecutaban sobre un blanco cuadro cubierto con fina arena de color rojo, sobre la que se dibujaban, con un estilete de madera, los signos, letras y figuras que representaban los números.

Tras de la suma y la resta apareció la multiplicación y la división. Los indios conocían la tabla de multiplicar, que después copió indudablemente Pitágoras; tenían idea de la raíz cuadrada y cúbica de los números; poseían la regla de la divisibilidad por 7 y de la prueba de las operaciones por este número; entreveían lo que eran los números inconmensurables, y sabían sumar las progresiones aritméticas y encontrar la de los cuadrados y cubos de los números enteros desde la unidad a un número a cualquiera. No tenían los indios signos para expresar la suma y la resta; sin embargo, un cero puesto encima de un número indicaba que se debía restar.

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El cálculo aritmético entre los griegos

Los griegos sabían hacer las cuatro primeras operaciones, las que en general ejecutaban empezando por la izquierda, y siguiendo métodos parecidos a los empleados ahora para las cantidades complejas.

Cuando la Aritmética empezó a introducirse en los estudios matemáticos, en la época comprendida entre Hiparco (-150 años) y Diofanto (325), viendo los griegos que su sistema de numeración dificultaba la ejecución de los cálculos, imaginaron dividir el radio en 60 partes, llamadas minutos, cada minuto en 60 partes, que denominaban segundos, y daban a las cantidades la forma compleja, pues se componía de tantos radios, minutos y segundos. Así que cuando trataban de dividir un número compuesto de estas tres partes, por un número, tenían buen cuidado de reducir los restos respectivos a la especie inmediata inferior.

Los griegos sabían multiplicar una suma por un número y recíprocamente. En 320, Teón de Alejandría dio la regla para extraer la raíz cuadrada de un número por un procedimiento análogo al que hoy se sigue; hasta entonces sólo se encontraba por largos y difíciles tanteos. Eratóstenes en -300 construyó su célebre criba eratosténica.

La Aritmética permaneció en este estado embrionario, hasta que Pitágoras, que vivió de -569 a -470, dio el primer paso para elevarla a la altura de la Geometría, esfuerzo que después continuaron sus discípulos; pero por desgracia, de los escritos de estos, sólo se conservan los de Teón de Esmirna, que vivió de 120 a 180, publicados por Reuniau en 1647, los cuales nos indican las ideas que dominaban respecto a los números en la Escuela pitagórica, y de cuyas obras vamos a dar un ligero extracto.

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