Todo arco variable cuyo límite es cero, se dice que es infinitamente pequeño e infinitesimal. Estos arcos gozan de un gran número de propiedades de las que vamos a indicar las más principales.

Teorema 1° – Se puede sustituir a un arco infinitesimal de una curva cualquiera, su cuerda o la suma de las tangentes trazadas en sus extremidades hasta su punto de encuentro, siempre que este arco sea un término de una relación, o de una suma, cuyo límite se trata de determinar.

En efecto: el arco es evidentemente mayor que la cuerda y menor que la suma de las tangentes; si pues se prueba que la relación de esta cuerda la suma de las dos tangentes es la unidad, con mayor razón lo será la de una cualquiera de estas dos cantidades al citado arco; pero, si del punto de encuentro de las dos tangentes se baja una perpendicular a la cuerda, la relación de cada segmento a la tangente correspondiente tiene por límite la unidad, pues es igual al coseno del ángulo infinitamente pequeño formado por estas dos líneas; luego se puede sustituir, como dice el enunciado de este teorema, en el limite de sumas y relaciones a un arco infinitesimal, su cuerda o la suma de las tangentes.

Teorema 2° – En el límite de sumas o relaciones se puede sustituir un arco infinitesimal por una sola de las tangentes trazadas en uno de sus extremos, siempre que se termine en una recta que pasando por el otro, haga con ella un ángulo finito.

En efecto: la tangente y la cuerda son evidentemente lados de un triángulo que comprenden entre sí un ángulo infinitesimal; luego la relación de estas dos magnitudes es la misma que la de los senos de los ángulos opuestos en el mencionado triángulo; pero como estos ángulos son en el límite suplementarios, el correspondiente a la relación de sus senos será la unidad, y por lo tanto la cuerda y la tangente mencionada; pero como el arco está evidentemente comprendido entre estas dos magnitudes geométricas, su relación a cualquiera de ellas será también la unidad; luego en el límite de sumas o de relacionas se puede sustituir a un arco infinitesimal una de estas dos cantidades sin que se altere el resultado.

Teorema 3° – La diferencia entre un arco infinitesimal y la cuerda, es, en general, del mismo orden que el cubo del arco.

En efecto: el arco infinitesimal, estando comprendido entre la cuerda y la suma de las tangentes extremas, diferirá de la citada cuerda menos que estas cantidades se diferencien entre sí; pero los ángulos que la cuerda hace en las tangentes son menores que el que éstas hacen entre sí, el que, en general, es del mismo orden del arco. Ahora bien, entro las tangentes y la cuerda se forma un triángulo que tiene un lado infinitesimal, así como los ángulos adyacentes que son del mismo grado que el citado lado; de donde se deduce que la diferencia de la cuerda la suma de las tangentes, es por lo menos de un grado igual al del cubo del lado o del arco; luego la diferencia entre el arco infinitesimal y su cuerda es, como habíamos enunciado, por lo menos de un orden igual al del cubo del arco. Si el arco infinitesimal fuera de 1° grado, la diferencia entre éste y su cuerda sería de 3°. Cuando el arco infinitamente pequeño de que nos ocupamos contiene un punto anguloso, entonces el ángulo de las tangentes extremas es finito, y por lo tanto, el triángulo formado por las tangentes y la cuerda, encierra un lado infinitamente pequeño y los dos ángulos adyacentes finitos; en este caso se sabe que la diferencia entre la suma de las tangentes y la cuerda es del mismo orden del arco; luego se puede decir que en el caso que nos ocupa, la mencionada diferencia entre la cuerda y el arco es del mismo orden que éste. Si el arco infinitesimal dado contiene un punto de inflexión, el ángulo de las tangentes extremas será a lo más de 2° orden, y lo mismo les sucederá á. los comprendidos entre las citadas líneas y la cuerda; luego el triángulo tantas veces citado contendrá un lado de 1° orden, o del mismo que el arco, y los ángulos adyacentes del 2°, o mejor del cuadrado de éste, por lo menos; por lo tanto, la diferencia entre la suma de las tangentes y la cuerda, o de ésta y el arco, será de un orden igual a la quinta potencia del arco; si éste es de 1° aquella será de 5°.

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